在数学中，行列式的概念是线性代数的重要组成部分之一。它不仅用于衡量矩阵是否可逆，还广泛应用于几何、物理等领域。为了计算一个方阵的行列式值，我们需要掌握一种重要的方法——行列式展开公式。

什么是行列式？

首先，让我们简单回顾一下行列式的定义。对于一个 \(n \times n\) 的方阵 \(A = [a_{ij}]\)，其行列式记作 \(\det(A)\) 或者 \(|A|\)，它是一个标量值。当 \(n=2\) 和 \(n=3\) 时，行列式的计算相对直观，但对于更高阶的情况，则需要借助更系统的方法来处理。

行列式的展开公式

一、按行（或列）展开

这是最常用的行列式展开方式。假设我们有一个 \(n \times n\) 矩阵 \(A\)，可以选择任意一行或者一列作为展开的基础。以第 \(i\) 行为例，行列式的值可以通过以下公式表示：

\[

\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}

\]

其中：

- \(M_{ij}\) 是去掉第 \(i\) 行和第 \(j\) 列后剩余子矩阵的行列式；

- \((-1)^{i+j}\) 是交错符号因子，取决于元素的位置；

- \(a_{ij}\) 是原矩阵中的元素。

类似的公式也可以从某一列出发进行展开。

二、莱布尼茨公式

莱布尼茨公式提供了一种更加抽象但通用的方式来表达行列式。对于 \(n \times n\) 矩阵 \(A\)，其行列式可以写成所有可能排列的加权和形式：

\[

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}

\]

这里 \(S_n\) 表示集合 \(\{1, 2, ..., n\}\) 上的所有排列，而 \(\text{sgn}(\sigma)\) 是排列 \(\sigma\) 的符号（即正负号），取决于该排列是偶排列还是奇排列。

实际应用示例

假设我们有如下 \(3 \times 3\) 矩阵：

\[

A =

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{bmatrix}

\]

我们可以选择第一行展开，得到：

\[

\det(A) = 1 \cdot \det

\begin{bmatrix}

5 & 6 \\

8 & 9

\end{bmatrix}

- 2 \cdot \det

\begin{bmatrix}

4 & 6 \\

7 & 9

\end{bmatrix}

+ 3 \cdot \det

\begin{bmatrix}

4 & 5 \\

7 & 8

\end{bmatrix}

\]

进一步计算每个 \(2 \times 2\) 子矩阵的行列式即可完成整个过程。

总结

通过上述介绍可以看出，行列式展开公式为我们提供了一种有效且灵活的工具来求解高阶矩阵的行列式值。无论是直接应用还是结合其他技巧，这一知识都是解决线性代数问题的关键技能之一。希望本文能够帮助读者更好地理解和运用行列式展开的相关理论！