【等差数列求和的公式】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差为一个常数，这个常数称为公差。等差数列的求和公式是解决实际问题的重要工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
等差数列的一般形式为：
a₁, a₂, a₃, ..., aₙ
其中，a₁ 为第一项，d 为公差，n 为项数。
等差数列求和的基本公式
等差数列的前 n 项和 Sₙ 可以通过以下公式计算：
$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$
或者也可以用首项 a₁ 和公差 d 来表示：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
这两个公式本质上是等价的，只是表达方式不同。
公式说明
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 基本求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 适用于已知首项 a₁ 和末项 aₙ 的情况 |
| 通项公式变形 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 适用于已知首项 a₁ 和公差 d 的情况 |
示例应用
假设有一个等差数列：
2, 5, 8, 11, 14
- 首项 a₁ = 2
- 公差 d = 3
- 项数 n = 5
- 末项 a₅ = 14
使用基本公式计算总和：
$$
S_5 = \frac{5}{2} (2 + 14) = \frac{5}{2} \times 16 = 40
$$
使用通项公式验证：
$$
S_5 = \frac{5}{2} [2 \times 2 + (5 - 1) \times 3] = \frac{5}{2} [4 + 12] = \frac{5}{2} \times 16 = 40
$$
两种方法得到的结果一致，证明公式正确。
总结
等差数列的求和公式是数学中的基础内容之一，掌握其原理和应用有助于解决许多实际问题。无论是通过首项和末项，还是通过首项和公差来计算，都可以准确地求出等差数列的前 n 项和。理解这些公式不仅有助于提高解题效率，也能加深对数列结构的认识。
